2355. В параллелограмме ABCD
диагональ AC
в два раза больше стороны AB
. На стороне BC
выбрана точка K
так, что \angle KDB=\angle BDA
. Найдите отношение BK:KC
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда
AB=\frac{1}{2}AC=AO=OC=CD.
Значит, треугольник DCO
равнобедренный. Треугольник BKD
также равнобедренный, так как
\angle KBD=\angle BDA=\angle KDB.
Поэтому его медиана KO
является высотой. Медиана CQ
равнобедренного треугольника DCO
также является высотой, поэтому KO\parallel CQ
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BK}{KC}=\frac{BO}{OQ}=\frac{BO}{\frac{1}{2}OD}=\frac{BO}{\frac{1}{2}BO}=2.