2356. Через концы основания BC
трапеции ABCD
провели окружность, которая пересекла боковые стороны AB
и CD
трапеции в точках M
и N
соответственно. Известно, что точка T
пересечения отрезков AN
и DM
также лежит на этой окружности. Докажите, что TB=TC
.
Решение. Четырёхугольник ABCD
— вписанный, поэтому
\angle ABC=\angle MBC=180^{\circ}-\angle MNC=\angle MND,
значит,
\angle MND+\angle MAD=\angle ABC+\angle BAD=180^{\circ}.
Следовательно, около четырёхугольника MADN
можно описать окружность. Вписанные в эту окружность углы AND
и AMD
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle TND=\angle AND=\angle AMD=\angle AMT.
Тогда
\angle TNC=180^{\circ}-\angle TND=180^{\circ}-\angle AMT=\angle BMT.
В окружности, описанной около четырёхугольника BMNC
, равные вписанные углы TNC
и BMT
опираются на равные хорды, следовательно, TC=TB
. Что и требовалось доказать.