2358. Точка K
— середина гипотенузы AB
прямоугольного треугольника ABC
. На катетах AC
и BC
выбраны точки M
и N
соответственно так, что угол MKN
— прямой. Докажите, что из отрезков AM
, BN
и MN
можно составить прямоугольный треугольник.
Решение. На продолжении отрезка MK
за точку K
отложим отрезок KP=KM
. Треугольник BKP
равен треугольнику AKM
по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle KBP=\angle KAM
. Значит, BP\parallel AC
, а так как AC\perp BC
, то BP\perp BC
. Следовательно, треугольник PBN
— прямоугольный.
Кроме того, BP=AM
, а так как высота NK
треугольника MNP
является его медианой, то NP=MN
. Следовательно, прямоугольный треугольник PBN
— искомый.
