2370. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
с углом \angle B=30^{\circ}
. Луч BO
пересекает отрезок AC
в точке K
. Точка L
— середина дуги OC
описанной окружности треугольника KOC
, не содержащей точку K
. Докажите, что точки A
, B
, L
, K
лежат на одной окружности.
Решение. Докажем, что из точек A
и K
, лежащих по одну сторону от прямой BL
, отрезок BL
виден под одним и тем же углом. Отсюда будет следовать, что точки A
, B
, L
, K
лежат на одной окружности.
Заметим, что AOC
— центральный угол описанной окружности треугольника ABC
, соответствующий вписанному углу ABC
. Значит, \angle AOC=2\angle ABC=60^{\circ}
, равнобедренный треугольник AOC
— равносторонний.
Поскольку L
— середина дуги OC
описанной окружности треугольника KOC
, точка L
(так же, как и точка A
) равноудалена от концов отрезка OC
. Значит, AL
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Поэтому AL
— биссектриса угла CAO
, и \angle OAL=\frac{1}{2}\angle OAC=30^{\circ}
.
Обозначим, \angle ABO=\angle BAO=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle OKC=\angle ABK+\angle BAK=\alpha+(\alpha+60^{\circ})=2\alpha+60^{\circ},
а так как KL
— биссектриса вписанного угла OKC
описанной окружности треугольника KOC
, то
\angle BKL=\angle OKL=\frac{1}{2}\angle OKC=\alpha+30^{\circ}.
С другой стороны,
\angle BAL=\angle BAO+\angle OAL=\alpha+30^{\circ}.
Следовательно, \angle BAL=\angle BKL
. Что и требовалось доказать.
Автор: Петров Ф. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2011, второй тур, 10 класс