2371. В треугольнике ABC
на стороне AC
выбрана точка D
. Известно, что \angle ADB=60^{\circ}
и BD=AC
. Докажите, что AB+CD\gt BC
.
Решение. На продолжении стороны AC
за точку A
отложим отрезок AE=CD
. Тогда
DE=AE+AD=CD+AD=AC=BD,
а так как \angle BDE=60^{\circ}
, то треугольник BDE
равносторонний, поэтому BE=BD
.
От луча DC
в полуплоскость, содержащую точку B
, отложим луч под углом 60^{\circ}
и на этом луче отложим отрезок DF=CD
. Тогда треугольник CDF
равносторонний, поэтому CF=CD=AE
и
\angle BDF=180^{\circ}-\angle CDF-\angle ADB=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}=\angle AEB.
Треугольники ABE
и FBD
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому BF=AB
. Следовательно,
AB+CD=BF+CF\gt BC.
Что и требовалось доказать.
Автор: Пастор А. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2011, второй тур, 9 класс