2374. В остроугольном треугольнике ABC
на стороне AC
выбрана такая точка P
, что 2AP=BC
. Точки X
и Y
симметричны P
относительно вершин A
и C
. Оказалось, что BX=BY
. Чему может быть равен угол C
исходного треугольника?
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть BH
— высота треугольника ABC
. Поскольку треугольник XBY
равнобедренный, точка P
— середина XY
. Поэтому
CH=HY-CY=\frac{1}{2}XY-CP=AC-CP=AP=\frac{1}{2}BC.
В прямоугольном треугольнике BHC
катет CH
вдвое меньше гипотенузы BC
. Следовательно,
\angle ACB=\angle HCB=60^{\circ}.