2375. Дан ромб ABCD
с острым углом B
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. На продолжении луча OC
за точку C
выбрана точка P
. Прямая PD
пересекается с прямой, проходящей через точку O
параллельно стороне AB
, в точке Q
. Докажите, что \angle AQO=\angle PBC
.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром P
, переводящую точку D
в точку Q
.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром P
, переводящую точку D
в точку Q
. Поскольку OQ\parallel AB\parallel CD
, вершина C
переходит в точку O
. Пусть вершина B
переходит в некоторую точку R
. Тогда OR\parallel BC
, а так как OB=OC
(как радиусы описанной окружности треугольника ABC
) и вершины A
и C
симметричны относительно диагонали BD
ромба, то
\angle BOR=\angle OBC=\angle BCO=\angle BAO=\angle AOQ.
Кроме того, стороны CD
и BC
ромба при рассматриваемой гомотетии переходят в отрезки OQ
и OR
. Поэтому OQ=OR
. Таким образом, стороны OA
, OQ
и угол между ними треугольника AOQ
соответственно равны сторонам OB
, OR
и углу между ними треугольника BOR
. Значит, эти треугольники равны. Следовательно,
\angle AQO=\angle BRO=\angle PBC.
Что и требовалось доказать.