2376. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
, в котором AB=AD
, на диагонали BD
выбрана точка K
, а на отрезке KC
— точка L
таким образом, что треугольники BAD
и BKL
подобны. Прямая, проходящая через точку K
параллельно DL
, пересекает прямую CD
в точке P
. Докажите, что \angle APK=\angle LBC
.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром C
, переводящую вершину D
в точку P
. Пусть при этом вершина B
переходит в некоторую точку R
. Поскольку DL\parallel KP
, точка L
переходит в точку K
, а отрезок BL
— в параллельный ему отрезок KR
.
Треугольники BAD
и BKL
подобны, причём первый из них равнобедренный, значит, треугольник BKL
также равнобедренный, BK=KL
. Значит, \frac{AB}{BD}=\frac{BK}{BL}
(отношение боковой стороны к основанию равнобедренного треугольника), а так как \angle KBL=\angle ABD
, то треугольники ABK
и DBL
подобны по двум сторонам и углу между ними.
Из этого подобия следует, что \frac{AK}{KB}=\frac{DL}{LB}=\frac{PK}{KR}
и \angle AKB=\angle DLB
, а так как KR\parallel BL
и KP\parallel LD
, то \angle DLB=\angle PKR
, значит, \angle AKB=\angle PKR
. Тогда
\angle BKR=\angle AKB-\angle AKR=\angle PKR-\angle AKR=\angle AKP,
и треугольники AKP
и BKR
по подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle APK=\angle KRB=\angle LBC.
Что и требовалось доказать.