2379. Из точки P
, лежащей внутри треугольника ABC
, на стороны AB
, BC
и AC
опущены перпендикуляры PC_{1}
, PA_{1}
и PB_{1}
соответственно. Докажите, что \angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle BPC-\angle BAC
.
Решение. Из точек A_{1}
и C_{1}
отрезок BP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BP
. Вписанные в эту окружность углы PA_{1}C_{1}
и PBC_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Тогда
\angle BPC_{1}=90^{\circ}-\angle BPC_{1}=90^{\circ}-\angle PA_{1}C_{1}.
Аналогично,
\angle CPB_{1}=90^{\circ}-\angle PCB_{1}=\angle90^{\circ}-\angle PA_{1}B_{1}.
Следовательно,
\angle BPC+\angle BPC_{1}+\angle CPB_{1}+B_{1}BC_{1}=360^{\circ},
или
\angle BPC+(90^{\circ}-\angle PA_{1}C_{1})+(90^{\circ}-\angle PA_{1}B_{1})+(180^{\circ}-\angle BAC)=360^{\circ}.
Отсюда находим, что
\angle B_{1}A_{1}C_{1}=\angle PA_{1}C_{1}+\angle PA_{1}B_{1}=\angle BPC-\angle BAC.
Что и требовалось доказать.