2380. Положительные числа a
, b
и c
таковы, что a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}
. Докажите, что (a-c)(b-c)\leqslant0
.
Указание. Примените теорему косинусов.
Решение. Отложим на сторонах угла 60^{\circ}
с вершиной O
отрезки OA=a
и OB=b
. По теореме косинусов
AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos60^{\circ}=a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}.
Поскольку в треугольнике AOB
угол AOM
равен 60^{\circ}
, этот угол — средний по величине угол треугольника (в противном случае сумма трёх углов либо больше 180^{\circ}
, либо меньше). Значит, либо \angle A\leqslant\angle O\leqslant B
, либо \angle B\leqslant\angle O\leqslant A
. Поэтому либо b\leqslant c\leqslant a
, либо a\leqslant c\leqslant b
. В обоих случаях (a-c)(b-c)\leqslant0
. Что и требовалось доказать.