2383. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
, E_{1}
, F_{1}
— середины сторон соответственно AB
, BC
, CD
, DE
, EF
, FA
произвольного выпуклого шестиугольника ABCDEF
. Известны площади треугольников ABC_{1}
, BCD_{1}
, CDE_{1}
, DEF_{1}
, EFA_{1}
, FAB_{1}
. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF
.
Ответ. \frac{2}{3}(S_{\triangle ABC_{1}}+S_{\triangle BCD_{1}}+S_{\triangle CDE_{1}}+S_{\triangle DEF_{1}}+S_{\triangle EFA_{1}}+S_{\triangle FAB_{1}})
.
Решение. Лемма. Если M
— середина стороны YZ
выпуклого четырёхугольника XYZT
, то
S_{\triangle XMT}=\frac{1}{2}(S_{\triangle XYT}+S_{\triangle XZT}).
Доказательство. Пусть YK
, MN
и ZL
— высоты треугольников XYT
, XMT
и XZT
соответственно. Тогда KYZT
— трапеция или прямоугольник. Значит, MN=\frac{1}{2}(YK+ZL)
. Следовательно,
S_{\triangle XMT}=\frac{1}{2}XT\cdot MN=\frac{1}{2}XT\left(\frac{1}{2}(YK+ZL)\right)=
=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}XT\cdot YK+\frac{1}{2}XT\cdot ZL\right)=\frac{1}{2}(S_{\triangle XYT}+S_{\triangle XZT}).
Лемма доказана.
Поскольку C_{1}
— середина стороны CD
, из леммы следует, что
S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ABC_{1}}.
Аналогично
S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BCE}=2S_{\triangle BCD_{1}},~S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CDF}=2S_{\triangle CDE_{1}},
S_{\triangle DEF}+S_{\triangle DEA}=2S_{\triangle DEF_{1}},~S_{\triangle EFA}+S_{\triangle EFB}=2S_{\triangle EFA_{1}},
S_{\triangle AFB}+S_{\triangle AFC}=2S_{\triangle AFB_{1}}.
Заметим, что треугольники ABD
, ABC
, BCD
, BCE
, CDE
, CDF
, DEF
, DEA
, EFA
, EFB
, AFB
, AFC
покрывают шестиугольник ABCDEF
в три слоя, поэтому
S_{ABCDEF}=\frac{1}{3}(S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle BCE}+S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CDF}+
+S_{\triangle DEF}+S_{\triangle DEA}+S_{\triangle EFA}+S_{\triangle EFB}+S_{\triangle AFB}+S_{\triangle AFC})=
=\frac{2}{3}(S_{\triangle ABC_{1}}+S_{\triangle BCD_{1}}+S_{\triangle CDE_{1}}+S_{\triangle DEF_{1}}+S_{\triangle EFA_{1}}+S_{\triangle AFB_{1}}).
Автор: Лопшиц А. М.
Автор: Васильев Н. Б.
Источник: Турнир городов. — 1996-1997, XVIII, осенний тур, старшие классы, основной вариант