2384. В выпуклом шестиугольнике AC_{1}BA_{1}CB_{1}
известно, что AB_{1}=AC_{1}
, BC_{1}=BA_{1}
, CA_{1}=CB_{1}
и \angle A+\angle B+\angle C=\angle A_{1}+\angle B_{1}+\angle C_{1}
. Докажите, что площадь треугольника ABC
равна половине площади шестиугольника.
Указание. Докажите с помощью поворота, что из треугольников AB_{1}C
, A_{1}BC
и ABC_{1}
можно сложить треугольник.
Решение. Сумма углов шестиугольника AC_{1}BA_{1}CB_{1}
равна 180^{\circ}(6-2)=720^{\circ}
, поэтому
\angle A+\angle B+\angle C=\angle A_{1}+\angle B_{1}+\angle C_{1}=360^{\circ}.
Докажем, что из треугольников AB_{1}C
, A_{1}BC
и ABC_{1}
можно сложить треугольник. Для этого повернём треугольник AB_{1}C
вокруг вершины C
так, чтобы точка B_{1}
перешла в вершину A_{1}
треугольника A_{1}BC
. Пусть вершина A
перейдёт при этом в некоторую точку X
. Треугольник XA_{1}C
равен треугольнику AB_{1}C
, а треугольник XA_{1}B
— треугольнику AC_{1}B
по двум сторонами и углу между ними, так как
A_{1}B=BC_{1},~A_{1}X=AB_{1}=AC_{1},~
\angle BA_{1}X=360^{\circ}-\angle CA_{1}X-\angle BA_{1}C=360^{\circ}-\angle B_{1}-\angle A_{1}=\angle C_{1}.
Что и требовалось доказать.
Треугольники ABC
и XBC
равны по трём сторонам, значит,
S_{AC_{1}BA_{1}CB_{1}}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle XBC}=2S_{\triangle ABC}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{AC_{1}BA_{1}CB_{1}}.