2385. На сторонах BC
и AB
треугольника ABC
нашлись точки L
и K
соответственно, такие что AL
— биссектриса угла BAC
, \angle ACK=\angle ABC
, \angle CLK=\angle BKC
. Докажите, что AC=KB
.
Указание. Докажите, что KL\parallel AC
.
Решение. Два угла KBL
и BLK
треугольника KBL
соответственно равны двум углам ACK
и AKC
треугольника ACK
(\angle AKC=\angle BLK
как углы, смежные с равными углами). Значит, равны и третьи углы этих треугольников, т. е. \angle BKL=\angle KAC
. Поэтому KL\parallel AC
, и \angle ALK=\angle KAL
, значит, треугольник AKL
равнобедренный, AK=KL
.
Тогда треугольники KBL
и ACK
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AC=KB
. Что и требовалось доказать.
Автор: Максимов Д.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2009, первый тур, 8 класс