2388. Точка M
— середина стороны AC
треугольника ABC
. Точка D
на стороне BC
такова, что \angle BMA=\angle DMC
. Оказалось, что CD+DM=BM
. Докажите, что \angle ACB+\angle ABM=\angle BAC
.
Указание. На продолжении отрезка MD
за точку D
отложите отрезок DK=CD
. Тогда треугольники ABM
и CKM
равны по двум сторонам и углу между ними.
Решение. На продолжении отрезка MD
за точку D
отложим отрезок DK=CD
. Тогда
MK=DK+DM=CD+DM=BM,
а так как треугольник CDK
равнобедренный, то
\angle CKM=\angle CKD=\angle DCK=\angle BCK.
Треугольники ABM
и CKM
равны по двум сторонам и углу между ними, значит,
\angle BAC=\angle BAM=\angle KCM,~\angle ABM=\angle CKM=\angle BCK.
Следовательно,
\angle BAC=\angle KCM=\angle ACB+\angle BCK=\angle ACB+\angle ABM.
Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2009, второй тур, 7 класс