2389. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
перпендикулярны и пересекаются в точке O
, причём BC=AO
. Точка F
такова, что CF\perp CD
и CF=BO
. Докажите, что треугольник ADF
— равнобедренный.
Указание. Примените теорему Пифагора.
Решение. Заметим, что условию задачи удовлетворяют две точки F
(точки F
и D
лежат либо по одну сторону от прямой AC
, либо по разные). Докажем, что в обоих случаях DF=AD
.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника DCF
находим, что DF^{2}=CF^{2}+CD^{2}
. С другой стороны,
AD^{2}=AO^{2}+OD^{2}=BC^{2}+(CD^{2}-CO^{2})=(BC^{2}-CO^{2})+CD^{2}=
=BO^{2}+CD^{2}=CF^{2}+CD^{2}=DF^{2}.
Что и требовалось доказать.