2390. На сторонах BC
и AB
остроугольного треугольника ABC
выбраны точки A_{1}
и C_{1}
. Отрезки AA_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке K
. Описанные окружности треугольников AA_{1}B
и CC_{1}B
пересекаются в точке P
. Оказалось, что P
— центр вписанной окружности треугольника AKC
. Докажите, что P
— ортоцентр треугольника ABC
.
Указание. Докажите, что треугольник ACA_{1}
— равнобедренный.
Решение. Пусть S_{a}
и S_{c}
— описанные окружности треугольников CC_{1}B
и AA_{1}B
. Вписанные в окружность S_{a}
углы C_{1}CP
и C_{1}BP
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle PCC_{1}=\angle PBC_{1}
. Вписанные в окружность S_{c}
углы ABP
и AA_{1}P
также опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle KA_{1}P=\angle AA_{1}P=\angle ABP=\angle C_{1}BP=\angle C_{1}CP=\angle KCP=\angle ACP.
Из точек A_{1}
и C
, лежащих по одну сторону от прямой KP
, отрезок KP
виден под одним и тем же углом, значит, четырёхугольник CPKA_{1}
— вписанный. Аналогично четырёхугольник APKC_{1}
— также вписанный, а так как KP
— биссектриса треугольника AKC
, то
\angle PA_{1}C=\angle PKC=\angle PKA=\angle PC_{1}A=\angle PCB=\angle PCA_{1}
(четырёхугольник CPC_{1}B
вписан в окружность S_{a}
).
Значит,
\angle AA_{1}C=\angle KA_{1}P+\angle PA_{1}C=\angle PCK+\angle PCA_{1}=\angle ACA_{1},
поэтому треугольник AA_{1}C
— равнобедренный. Его биссектриса, проведённая из вершины A
, перпендикулярна основанию CA_{1}
, поэтому AP\perp BC
. Аналогично, CP\perp AB
. Следовательно, P
— ортоцентр треугольника ABC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2009, второй тур, 9 класс