2395. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
, причём отрезки AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
пересекаются в точке O
, а AA_{1}
— биссектриса треугольника ABC
. Известно, что точка O
ближе к прямой AB
, чем к прямым A_{1}C_{1}
и B_{1}A_{1}
. Докажите, что \angle BAC\gt120^{\circ}
.
Указание. Воспользуйтесь следующим утверждением. Если луч KL
проходит между сторонами угла MKN
, то \angle MKL\leqslant\angle MKL
тогда и только тогда, когда расстояние от точки L
до стороны KM
не больше расстояния от этой точки до стороны KN
.
Решение. Воспользуемся следующим очевидным утверждением. Если луч KL
проходит между сторонами угла MKN
(рис. 1), то \angle MKL\leqslant\angle MKL
тогда и только тогда, когда расстояние от точки L
до стороны KM
не больше расстояния от этой точки до стороны KN
.
Предположим, что \angle BAC\leqslant120^{\circ}
(рис. 2). На продолжении стороны AB
за точку A
отметим точку P
. Тогда
\angle CAP=180^{\circ}-\angle BAC\geqslant180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}\geqslant\angle CAA_{1}.
Луч AC
проходит между сторонами угла PAA_{1}
, причём \angle CAP\geqslant CAA_{1}
, значит, расстояние от точки C
до стороны AA_{1}
не больше расстояния от этой точки до стороны AP
.
Поскольку точка O
, лежащая внутри угла PC_{1}A_{1}
, ближе к прямой AB
, чем к прямой A_{1}C_{1}
, то
\angle A_{1}C_{1}C=\angle A_{1}C_{1}O\geqslant\angle AC_{1}O=\angle PC_{1}C,
значит, расстояние от точки C
до прямой C_{1}A_{1}
не меньше расстояния от этой точки до прямой AA_{1}
. Таким образом, расстояние от точки C
до прямой AA_{1}
не больше расстояния от этой точки до прямой A_{1}C_{1}
. Следовательно, если X
— точка на продолжении отрезка C_{1}A_{1}
за точку A_{1}
, то \angle CA_{1}X\geqslant\angle CA_{1}A
.
Аналогично, если Y
— точка на продолжении отрезка B_{1}A_{1}
за точку A_{1}
, то \angle BA_{1}Y\geqslant\angle BA_{1}A
. Сложив эти два неравенства, получим, что
\angle CA_{1}X+\angle BA_{1}Y\geqslant\angle CA_{1}A+\angle BA_{1}A=180^{\circ},
что невозможно.