2397. Три отрезка длиной 3, 4 и 5 соединяют внутреннюю точку P
равностороннего треугольника с его вершинами. Чему равна сторона этого треугольника?
Ответ. \sqrt{25+12\sqrt{3}}
.
Указание. Пусть P
— точка внутри равностороннего треугольника ABC
, причём PC=3
, PA=4
, PB=5
. Рассмотрите поворот на 60^{\circ}
вокруг точки C
, при котором вершина B
переходит в вершину A
.
Решение. Пусть P
— точка внутри равностороннего треугольника ABC
, причём PC=3
, PA=4
, PB=5
.
Рассмотрим поворот на 60^{\circ}
вокруг точки C
, при котором вершина B
переходит в вершину A
. При этом повороте точка P
переходит в некоторую точку F
, лежащую вне треугольника ABC
, CF=CP=3
и \angle PCF=60^{\circ}
. Значит, треугольник CPF
равносторонний, и PF=3
.
Кроме того, AF=BP=5
, поэтому стороны треугольника APF
равны 3, 4 и 5. Значит, этот треугольник прямоугольный, \angle APF=90^{\circ}
.
Пусть E
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины A
на продолжение отрезка CP
. Тогда
\angle APE=180^{\circ}-\angle CPF-\angle APF=180^{\circ}-60^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}.
Из прямоугольного треугольника AEP
находим, что
AE=\frac{1}{2}AP=2,~EP=AE\sqrt{3}=2\sqrt{3}.
Значит, CE=CP+PE=3+2\sqrt{3}
. Следовательно,
AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{4+(3+2\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{25+12\sqrt{3}}.