2398. Докажите, что геометрическое место точек, удалённых на данное расстояние от данной прямой, есть две параллельные прямые.
Указание. Примените свойство прямоугольника.
Решение. Пусть l
— данная прямая, h
— данное расстояние. Через произвольную точку M
, лежащую на прямой l
, проведём прямую, перпендикулярную l
. На этой прямой возьмём точки A
и B
, расположенные по разные стороны от прямой l
, для которых MA=MB=h
. Докажем, что прямые l_{1}
и l_{2}
, параллельные прямой l
и проходящие соответственно через точки A
и B
, есть указанное в условии геометрическое место точек.
Пусть произвольная точка X
, отличная от A
, лежит на прямой l_{1}
. Опустив из точки X
перпендикуляр XX'
на прямую l
, получим прямоугольник AXX'M
. Значит, XX'=AM=h
, т. е. точка X
удалена от прямой l
на данное расстояние h
. Аналогично для произвольной точки прямой l_{2}
.
Пусть теперь некоторая точка Y
удалена от прямой l
на расстояние h
. Предположим, что эта точка и точка A
лежат по одну сторону от прямой l
. Если Y'
— основание перпендикуляра, опущенного из точки Y
на прямую l
, то AYY'M
— прямоугольник. Значит, AY\parallel MY'
, т. е. AY\parallel l
. Поскольку через точку, не лежащую на прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной, то прямая AY
совпадает с прямой l_{1}
. Следовательно, точка Y
лежит на прямой l_{1}
.
Если же точки Y
и A
лежат по разные стороны от прямой l
, то аналогично докажем, что точка Y
лежит на прямой l_{2}
.