2399. Найдите геометрическое место точек, из которых проведены касательные к данной окружности, равные заданному отрезку.
Ответ. Окружность, концентрическая данной.
Указание. Рассмотрите прямоугольный треугольник с вершинами в рассматриваемой точке, центре данной окружности и точке касания.
Решение. Пусть касательная, проведённая из точки M
к данной окружности, равна d
(т. е. отрезок с концами в точке M
и в точке касания равен заданному), а радиус этой окружности равен r
. Тогда точка M
удалена от центра окружности на расстояние, равное \sqrt{r^{2}+d^{2}}
. Следовательно, точка M
расположена на окружности с тем же центром, что и данная, и радиусом, равным \sqrt{r^{2}+d^{2}}
.
С другой стороны, если точка K
лежит на окружности радиуса \sqrt{r^{2}+d^{2}}
с центром в точке O
(центре данной окружности), то касательная, проведённая из точки K
к данной окружности, равна d
.