2419. С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две данные окружности были бы видны под данными углами.
Указание. Геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом, есть окружность, концентрическая данной.
Решение. Докажем сначала, что геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом, есть окружность, концентрическая данной.
Действительно, пусть данный угол равен \alpha
, O
— центр данной окружности, r
— её радиус. Если из точки M
данная окружность видна под углом \alpha
, то OM
— гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого — радиус, проведённый в точку касания с касательной, проходящей через точку M
, а противолежащий острый угол равен \frac{\alpha}{2}
. Следовательно, точка M
лежит на окружности с центром в точке O
радиусом \frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}}
. Легко доказать, что из любой точки этой окружности данная окружность видна под углом \alpha
. Поэтому задача сводится к построению двух прямоугольных треугольников по катету и острому углу.
Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 25, с. 13