2424. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.
Указание. Задача сводится к построению прямоугольного треугольника по катету (данная высота) и гипотенузе (данная медиана).
Решение. Построим прямоугольный треугольник по катету AH
(данная высота) и гипотенузе AM
(данная медиана). На прямой, содержащей второй катет HM
, лежит сторона искомого треугольника.
На прямой, перпендикулярной HM
и проходящей через точку M
, лежит центр O
описанной окружности. С другой стороны, он лежит на окружности данного радиуса с центром в точке A
.
Построим теперь окружность с центром O
данным радиусом R
. Точки её пересечения с прямой HM
есть вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1941, VII, 1-й тур, 7-8 классы
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 1, с. 25
Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 60, с. 16
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.1, с. 197
Источник: Голубев В. И., Ерганжиева Л. Н., Мосевич К. К. Построение треугольника. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2008. — № 144, с. 172