2428. С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, пересекающую две стороны данного треугольника так, чтобы точки пересечения и концы третьей стороны находились на одной окружности.
Указание. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^{\circ}
.
Решение. Предположим, что задача решена. Пусть M
— данная точка, а прямая, проведённая через точку M
, пересекает стороны AC
и BC
данного треугольника ABC
соответственно в точках K
и L
таких, что четырёхугольник AKLB
— вписанный. Тогда
\angle CLK=180^{\circ}-\angle BLK=\angle KAB.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Возьмём произвольную точку P
на стороне BC
. Отложим от луча PC
в полуплоскости, содержащей точку A
, угол, равный углу A
. Через данную точку M
проведём прямую, параллельную отложенной стороне построенного угла. Если эта прямая пересекает стороны AC
и BC
, то она — искомая.
Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 67, с. 17