2441. Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.
Ответ. Прямая.
Указание. Примените теорему Фалеса.
Решение. Пусть l_{1}
и l_{2}
— данные параллельные прямые, точка A
лежит на l_{1}
, а точка B
— на l_{2}
. Через середину M
отрезка AB
проведём прямую l
, параллельную данным.
Если X
и Y
— произвольные точки, лежащие на прямых l_{1}
и l_{2}
соответственно и отличные от A
и B
, то прямая l
проходит через середину M
стороны BX
треугольника ABX
параллельно стороне AX
. Значит, по теореме Фалеса середина P
стороны BX
лежит на прямой l
. Аналогично докажем, что середина Q
стороны XY
треугольника BXY
также лежит на прямой l
.
Обратно, любая точка Q
прямой l
является серединой какого-то отрезка с концами на прямых l_{1}
и l_{2}
соответственно. Действительно, проведём через точку Q
прямую, пересекающую l_{1}
в точке X
. Тогда проведённая прямая пересекает l_{2}
в некоторой точке Y
, причём на прямой l
лежит как средняя линия треугольника ABX
, так и средняя линия треугольника BXY
. Следовательно, Q
— середина отрезка XY
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2, с. 183