2443. Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку окружности.
Ответ. Окружность (без точки), радиус которой вдвое меньше радиуса данной окружности.
Указание. Если M
— середина хорды AB
окружности с центром в точке O
(AB
— не диаметр), то \angle AMO
— прямой.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр данной окружности, A
— точка на окружности, M
— середина хорды AB
(не являющейся диаметром). Тогда отрезок OA
виден из точки M
под прямым углом, так как диаметр проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей. Следовательно, середина любой хорды AB
(включая и точку O
) лежит на окружности с диаметром AO
.
Обратно, любая точка этой окружности (за исключением точки A
) есть середина какой-то хорды AB
, так как диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Второй способ. Искомое геометрическое место точек есть окружность (без точки A
), гомотетичная данной с коэффициентом \frac{1}{2}
и центром в точке A
.