2447. Найдите геометрическое место точек M
, лежащих внутри ромба ABCD
и обладающих тем свойством, что \angle AMD+\angle BMC=180^{\circ}
.
Ответ. Диагонали ромба.
Указание. Достройте треугольник ADM
до параллелограмма ADMN
и докажите, что AMBN
— вписанный четырёхугольник.
Решение. Если точка M
лежит на одной из диагоналей ромба, то
\angle AMD+\angle BMC=180^{\circ}.
Пусть M
— точка внутри ромба, для которой данное равенство выполнено. Достроим треугольник ADM
до параллелограмма ADMN
. Тогда
\angle NAM=\angle DMA,~\angle NBM=\angle BMC
(так как MCBN
— также параллелограмм). Поэтому
\angle NAM+\angle NBM=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник AMBN
— вписанный. Его диагонали AB
и MN
равны между собой. Поэтому AM\parallel BN
или BM\parallel AN
.
В первом случае
\angle AMD=\angle MAN=\angle AMB,
значит,
\angle AMD+\angle CMB=180^{\circ}.
Следовательно, точка M
лежит на диагонали AC
. Аналогично докажем, что во втором случае точка M
лежит на диагонали BD
.
Источник: Турнир городов. — 1987-1988, IX, осенний тур, младшие классы, основной вариант
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 7.5, с. 185
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 7.5, с. 184
Источник: Олимпиада «Baltic Way». — 2001, задача 9