2451. На окружности фиксированы точки A
и B
, а точка C
перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения высот треугольника ABC
.
Ответ. Окружность без двух точек.
Указание. Выразите угол между высотами AA_{1}
и BB_{1}
через угол C
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот AA_{1}
и BB_{1}
треугольника ABC
. Тогда
\angle AHB=180^{\circ}-\angle C.
Поэтому точка пересечения высот каждого треугольника ABC
лежит на окружности, симметричной данной относительно прямой AB
.
С другой стороны, каждая точка окружности, симметричной данной относительно прямой AB
(за исключением двух точек, лежащих на перпендикулярах к AB
, проходящих через точки A
и B
), является точкой пересечения высот треугольника ABC
с вершиной C
, лежащей на данной окружности.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 7.19(а), с. 185