2454. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную точку, лежащую вне данной окружности, с точками этой окружности.
Ответ. Окружность.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в данной точке и коэффициентом \frac{1}{2}
.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в данной точке M
и коэффициентом \frac{1}{2}
. При этой гомотетии данная окружность перейдёт в окружность, радиус которой равен половине радиуса данной, а центр — середина отрезка OM
, где O
— центр данной окружности.
Любая точка этой окружности является серединой отрезка с концами в данной точке M
и на данной окружности.
С другой стороны, середина любого такого отрезка лежит на построенной окружности.
Источник: Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева. — 3-е изд. — М.: Наука, 1988. — № 2, с. 431