2459. Постройте точку M
внутри данного треугольника ABC
так, что S_{\triangle ABM}:S_{\triangle BCM}:S_{\triangle ACM}=1:2:3
.
Указание. Площади треугольников с общим основанием относятся как их высоты.
Решение. Построим точки A_{1}
и B_{1}
на сторонах BC
и AC
треугольника ABC
так, что
\frac{BA_{1}}{A_{1}C}=\frac{1}{3},~\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{1}{2}.
Искомая точка M
— точка пересечения отрезков AA_{1}
и BB_{1}
.
Действительно, расстояния от точек B
и C
до прямой AA_{1}
относятся как \frac{1}{3}
. Следовательно, так же относятся и площади треугольников ABM
и ACM
. Аналогично для пары треугольников ABM
и BCM
.
Ясно, что других точек, удовлетворяющих данному условию, нет.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1965, XXVIII, 1-й тур, 9 класс
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 6, с. 90
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.2, с. 201
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.2, с. 197