2462. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум углам и периметру.
Указание. Примените метод подобия или отложите на продолжениях стороны AB
отрезки, равные сторонам AC
и BC
.
Решение. Первый способ. Пусть требуется построить треугольник ABC
по двум углам A
, B
и периметру P
.
Строим произвольный треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
с углами \angle A_{1}=\angle A
и \angle B_{1}=\angle B
и находим его периметр P_{1}
. Искомый треугольник подобен построенному с коэффициентом \frac{P}{P_{1}}
.
Второй способ. Предположим, что треугольник ABC
построен. На продолжении отрезка AB
за точку B
отложим отрезок BB_{1}
, равный BC
, а на продолжении отрезка AB
за точку A
— отрезок AA_{1}
, равный AC
. Треугольники A_{1}AC
и B_{1}BC
— равнобедренные. Поэтому
\angle A_{1}=\frac{1}{2}\angle A,~\angle B_{1}=\frac{1}{2}\angle B,
A_{1}B_{1}=A_{1}A+AB+BB_{1}=AC+AB+BC=P.
Треугольник, равный треугольнику A_{1}B_{1}C
, строим по стороне (равной P
) и двум прилежащим к ней углам (\angle A_{1}=\frac{1}{2}\angle A
, \angle B_{1}=\frac{1}{2}\angle B
). Серединные перпендикуляры к сторонам A_{1}C
и B_{1}C
пересекают отрезок A_{1}B_{1}
в искомых вершинах A
и B
.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 128, с. 15
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 8.12, с. 201
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 8.12, с. 198
Источник: Голубев В. И., Ерганжиева Л. Н., Мосевич К. К. Построение треугольника. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2008. — № 87, с. 119
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — задача 5, с. 213