2467. Постройте треугольник ABC
, зная положение центров A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
его вневписанных окружностей.
Указание. Докажите, что A_{1}A
, B_{1}B
и C_{1}C
— высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Поскольку биссектрисы внешних углов при вершинах, например, B
и C
треугольника ABC
пересекаются под углом 90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC\lt90^{\circ}
(см. задачу 4770), то треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
— остроугольный. Докажем, что AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
Действительно, лучи AB_{1}
и AA_{1}
— биссектрисы смежных углов. Поэтому \angle A_{1}AB_{1}=90^{\circ}
. Аналогично для лучей AC_{1}
и AA_{1}
. Следовательно, AA_{1}
— высота треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Аналогично для вершин B_{1}
и C_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём высоты треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Точки их пересечения со сторонами треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
есть вершины искомого треугольника ABC
.
Действительно, поскольку ABC
— ортотреугольник остроугольного треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, то AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы углов треугольника ABC
. Пусть M
— точка на продолжении стороны AC
за точку C
. Тогда
\angle MCA_{1}=\angle ACB_{1}=\angle BCA_{1},
т. е. луч CA_{1}
— биссектриса внешнего угла при вершине C
треугольника ABC
. Аналогично докажем, что луч BA_{1}
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABC
. Следовательно, A_{1}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
. Остальное аналогично.