2469. Постройте равнобедренный треугольник, если заданы основания его биссектрис.
Указание. Если AA_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC)
, то треугольник AC_{1}A_{1}
— равнобедренный.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
(AB=BC)
построен. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— основания его биссектрис. Тогда
\angle C_{1}A_{1}A=\angle A_{1}AC=\angle C_{1}AA_{2}.
Следовательно, треугольник AC_{1}A_{1}
— равнобедренный, AC_{1}=C_{1}A_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём высоту из вершины B_{1}
треугольника A_{1}C_{1}B_{1}
. Через точку B_{1}
проведём прямую, перпендикулярную этой высоте. Радиусом, равным C_{1}A_{1}
построим окружность с центром в точке C_{1}
. Одна из двух точек пересечения этой окружности с проведённой ранее прямой есть вершина A
искомого треугольника. Аналогично находим вершину B
.