2470. С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах AB
и BC
треугольника ABC
точки соответственно X
и Y
так, что AX=BY
и XY\parallel AC
.
Указание. Проведите через точку Y
прямую, параллельную стороне AB
.
Решение. Предположим, что нужные точки X
и Y
построены. Через точку Y
проведём прямую, параллельную стороне AB
, до пересечения со стороной AC
в точке M
. Тогда YM=XA=BY
. Поэтому треугольник BYM
— равнобедренный, \angle MBY=\angle BMY=\angle ABM
. Следовательно, BM
— биссектриса угла B
треугольника ABC
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём биссектрису BM
треугольника ABC
. Через точку M
проведём прямую, параллельную AB
. Точка её пересечения со стороной BC
есть искомая точка Y
. Через точку Y
проведём прямую, параллельную AC
. Точка пересечения этой прямой со стороной AB
есть искомая точка X
.
Действительно, поскольку четырёхугольник AXYM
— параллелограмм, то AX=MY
, а так как BM
— биссектриса угла ABC
и MY\parallel AB
, то
\angle MBY=\angle ABM=\angle BMY.
Значит, треугольник MBY
— равнобедренный. Следовательно, BY=MY=AX
.