2473. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в данной на ней точке A
.
Указание. Линия центров двух касающихся окружностей проходит через их точку касания; центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Решение. Первый способ. Предположим, что искомая окружность построена. Пусть O_{1}
— её центр, A
— данная точка касания окружностей, M
— точка пересечения общей касательной к двум окружностям, проходящей через точку A
, с данной прямой l
, P
— точка касания построенной окружности с прямой l
. Тогда MO_{1}
— биссектриса угла AMP
и прямая O_{1}A
проходит через центр O
данной окружности.
Отсюда вытекает следующее построение. Проведём касательную к данной окружности через точку A
. Пусть она пересекает данную прямую в точке M
. Построим биссектрисы смежных углов, образованных этой касательной с прямой l
. Точки пересечения построенных биссектрис с прямой AO
есть центры искомых окружностей (внешнее и внутреннее касание).
Второй способ. Любые две окружности гомотетичны. Если окружности касаются, то один из центров гомотетии этих окружностей есть их точка касания.
Отсюда вытекает следующее построение. Проведём касательные к данной окружности с центром O
, параллельные данной прямой l
. Пусть B
и B_{1}
— полученные при этом точки касания. Тогда точки пересечения прямых AB
и AB_{1}
с прямой l
есть точки касания с этой прямой искомых окружностей. Центры искомых окружностей есть точки пересечения прямой AO
с перпендикулярами к прямой l
, проведёнными через найденные точки касания.