2474. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.
Указание. Один из центров гомотетии двух касающихся окружностей — точка касания.
Решение. Любые две окружности гомотетичны. Если окружности касаются, то один из центров гомотетии этих окружностей есть точка касания.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём касательные к данной окружности, параллельные данной прямой l
. Пусть B
и B_{1}
точки касания. Соединим точки B
и B_{1}
с данной точкой A
. Прямые BA
и B_{1}A
вторично пересекают окружность в точках K
и K_{1}
соответственно. Точки K
и K_{1}
— искомые центры гомотетии, т. е. точки касания искомых окружностей с данной окружностью S
.
Пусть O
— центр данной окружности S
. Тогда центры искомых окружностей — точки пересечения прямых KO
и K_{1}O
с перпендикуляром к данной прямой, проходящим через точку A
(внешнее и внутреннее касание).