2474. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной на ней точке.
Указание. Один из центров гомотетии двух касающихся окружностей — точка касания.
Решение. Любые две окружности гомотетичны. Если окружности касаются, то один из центров гомотетии этих окружностей есть точка касания.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём касательные к данной окружности, параллельные данной прямой l
. Пусть B
и B_{1}
точки касания. Соединим точки B
и B_{1}
с данной точкой A
. Прямые BA
и B_{1}A
вторично пересекают окружность в точках K
и K_{1}
соответственно. Точки K
и K_{1}
— искомые центры гомотетии, т. е. точки касания искомых окружностей с данной окружностью S
.
Пусть O
— центр данной окружности S
. Тогда центры искомых окружностей — точки пересечения прямых KO
и K_{1}O
с перпендикуляром к данной прямой, проходящим через точку A
(внешнее и внутреннее касание).
Источник: Александров И. И. Сборник геометрических задач на построение. — 19-е изд. — М.: Учпедгиз, 1954. — № 51, с. 33
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1951, билет 13, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 51-13-4, с. 32
Источник: Барыбин К. С. Сборник задач по геометрии. Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1958. — № 535, с. 69
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 97, с. 14