2484. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по высоте, опущенной на одну из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.
Указание. Если O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, то высота OP
треугольника AOB
в три раза меньше высоты CK
треугольника ABC
.
Решение. Предположим, что искомый треугольник ABC
построен. Пусть AM=m_{1}
и BN=m_{2}
— данные медианы, CK=h
— данная высота. Опустим из точки O
пересечения медиан треугольника ABC
перпендикуляр OP
на прямую AB
. Тогда
OP=\frac{1}{3}CK=\frac{1}{3}h,~AO=\frac{2}{3}m_{1},~OB=\frac{2}{3}m_{2}.
Прямоугольные треугольники AOP
и BOP
построим по катету и гипотенузе. Точки A
и B
могут лежать либо по одну сторону от точки P
, либо по разные. Полученный треугольник достроим до искомого.
Источник: Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике. Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы. — М.: Просвещение, 1991. — № 46, с. 153
Источник: Голубев В. И., Ерганжиева Л. Н., Мосевич К. К. Построение треугольника. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2008. — № 148, с. 178