2487. С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник по диагоналям, углу между ними и двум каким-нибудь сторонам.
Указание. Пусть AB
и CD
— данные стороны, AC
и BD
— данные диагонали четырёхугольника ABCD
. Достройте треугольники DAC
и BAC
до параллелограммов ADD_{1}C
и ABB_{1}C
.
Решение. Рассмотрим случай, когда даны две противоположные стороны. Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD
построен. Пусть AB=a
и CD=b
— данные стороны, AC=d_{1}
, BD=d_{2}
— данные диагонали, K
— точка пересечения диагоналей, \angle BKC=\alpha
— данный угол.
Достроим треугольники DAC
и BAC
до параллелограммов ADD_{1}C
и ABB_{1}C
. Тогда BB_{1}D_{1}D
— также параллелограмм со сторонами
B_{1}D_{1}=BD=d_{2},~BB_{1}=DD_{1}=AC=d_{1}
и углом \alpha
между сторонами DD_{1}
и DB
. При этом точка C
удалена от вершин D
и B_{1}
на расстояния b
и a
соответственно.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим параллелограмм BB_{1}D_{1}D
по двум соседним сторонам DD_{1}=d_{1}
, DB=d_{2}
и углу \angle BDD_{1}=\alpha
. Пересечение окружностей с центрами в точках B_{1}
и D
с радиусами a
и b
соответственно даёт вершину C
. Через точки B
и D
проведём прямые, параллельные CB_{1}
и CD_{1}
соответственно. Пересечение этих прямых даёт искомую вершину A
.