2488. Постройте выпуклый четырёхугольник по четырём сторонам и отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон.
Указание. Пусть M
и N
середины противоположных сторон BC
и AD
четырёхугольника ABCD
. Достройте треугольники ABM
и DCM
до параллелограммов ABMM_{1}
и DCMM_{2}
.
Решение. Предположим, что четырёхугольник ABCD
построен. Пусть M
и N
— середины противоположных сторон BC
и AD
,
AB=a,~BC=b,~CD=c,~AD=d,~MN=m
— данные отрезки. Достроим треугольники ABM
и DCM
до параллелограммов ABMM_{1}
и DCMM_{2}
. Тогда
MM_{1}=AB=a,~MM_{2}=CD=c.
Поскольку
AM_{1}=BM=MC=DM_{2},~AN=ND,~\angle NAM_{1}=\angle NDM_{2},
то треугольники AM_{1}N
и DM_{2}N
равны по двум сторонами и углу между ними. Поэтому M_{1}N=M_{2}N
и \angle ANM_{1}=\angle DNM_{2}
. Следовательно, точки M_{1}
, N
и M_{2}
лежат на одной прямой и MN
— медиана треугольника M_{1}MM_{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник M_{1}MM_{2}
по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей. Пусть N
— середина M_{1}M_{2}
. На основаниях NM_{1}
и NM_{2}
строим треугольники M_{1}NA
и M_{2}ND
с боковыми сторонами, равными \frac{b}{2}
и \frac{d}{2}
, так, чтобы точки A
и D
лежали по разные стороны от прямой M_{1}M_{2}
. Через точки A
, M
и D
проводим прямые, параллельные MM_{1}
, AM_{1}
и MM_{2}
соответственно. Первая и третья из этих прямых пересекают вторую в искомых вершинах B
и C
.