2494. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и сумме двух других сторон.
Указание. Пусть в треугольнике ABC
известна сторона BC
сумма сторон AB+AC
и угол A
. На продолжении стороны BA
за точку A
отложите отрезок, равный стороне AC
.
Решение. Предположим, что треугольник ABC
построен. Пусть BC=a
— данная сторона, \angle A=\alpha
— данный угол, AB+AC=d
— данная сумма сторон.
На продолжении стороны BA
за точку A
отложим отрезок AD
, равный AC
. Тогда
BD=BA+AD=BA+AC=d,
треугольник DAC
— равнобедренный. Поэтому \angle BDC=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{\alpha}{2}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим отрезок BD
, равный d
. От луча DB
откладываем угол, равный \frac{\alpha}{2}
. С центром в точке B
проводим окружность радиуса a
. Точка пересечения этой окружности с проведённым ранее лучом (таких точек может быть две) есть искомая вершина C
. Пересечение серединного перпендикуляра к отрезку DC
с прямой BD
даёт искомую вершину A
.
Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 73, с. 17
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 82, с. 95
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 127, с. 15
Источник: Голубев В. И., Ерганжиева Л. Н., Мосевич К. К. Построение треугольника. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2008. — № 20, с. 64