2500. Найдите геометрическое место середин всех хорд данной окружности, имеющих данную длину, меньшую диаметра.
Ответ. Окружность, концентрическая данной.
Указание. Выразите расстояние от середины каждой такой хорды до центра данной окружности через радиус этой окружности и длину хорды.
Решение. Пусть AB=a
— некоторая хорда окружности с центром O
и радиусом R
. Если P
— проекция точки O
на AB
, то P
— середина AB
и
OP=\sqrt{OA^{2}-\left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}}.
Следовательно, точка P
находится на окружности с центром в точке O
и радиусом, равным
\sqrt{OA^{2}-\left(\frac{1}{2}AB\right)^{2}}=\sqrt{R^{2}-\frac{a^{2}}{4}}.
Обратно, любая точка M
такой окружности есть середина некоторой хорды исходной окружности. Действительно, касательная к построенной окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку M
. Следовательно, точка M
— середина отрезка CD
этой касательной, заключённого внутри данной окружности. Поэтому
CD=2\sqrt{OC^{2}-OM^{2}}=a.