2502. С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный треугольник так, чтобы одна из сторон квадрата лежала на основании треугольника, а противоположные этой стороне вершины — на боковых сторонах.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Предположим, что вершины M
и L
квадрата MNKL
находятся на стороне AB
треугольника ABC
, а вершины N
и K
— на сторонах AC
и BC
соответственно. На луче AK
возьмём произвольную точку F
. Через эту точку проведём прямые, параллельные сторонам квадрата, до пересечения с лучами AC
и AB
в точках Q
и E
соответственно. Пусть P
— проекция точки Q
на AB
. Тогда PQFE
— квадрат, гомотетичный квадрату MNKL
при гомотетии с центром в точке A
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим произвольный квадрат PQEF
с вершинами P
и E
на луче AB
и с вершиной Q
на луче AC
. Пересечение луча AF
со стороной BC
есть вершина искомого квадрата.
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 155, с. 142
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 162, с. 18
Источник: Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970. — № 39, с. 40