2503. С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, проходящую через данную точку.
Указание. Впишите в данный угол произвольную окружность. Эта окружность гомотетична искомой при гомотетии с центром в вершине данного угла.
Решение. Предположим, что окружность с центром O
вписана в данный угол AQB
и проходит через точку M
. Центр этой окружности находится на биссектрисе данного угла.
Рассмотрим произвольную окружность с центром O_{1}
, отличным от O
, вписанную в этот же угол. Пусть луч QM
пересекает эту окружность в точках C
и D
. Поскольку эти окружности гомотетичны с центром гомотетии Q
, то один из радиусов (например, O_{1}C
) второй окружности параллелен радиусу OM
первой окружности.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Впишем в угол произвольную окружность с центром O_{1}
. Найдём точки пересечения C
и D
этой окружности с лучом QM
, и через точку M
проведём прямые, параллельные радиусам O_{1}C
и O_{1}D
. Точки пересечения этих прямых с биссектрисой данного угла есть центры искомых окружностей.
Если данная точка лежит внутри угла, то задача имеет два решения. Если точка лежит на стороне угла, то задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 183, с. 19
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 3, с. 208
Источник: Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970. — № 42, с. 40
Источник: Колмогоров А. Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 7 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1979. — № 11, с. 128
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — с. 142
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 19.16, с. 390