2503. С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, проходящую через данную точку.
Указание. Впишите в данный угол произвольную окружность. Эта окружность гомотетична искомой при гомотетии с центром в вершине данного угла.
Решение. Предположим, что окружность с центром O
вписана в данный угол AQB
и проходит через точку M
. Центр этой окружности находится на биссектрисе данного угла.
Рассмотрим произвольную окружность с центром O_{1}
, отличным от O
, вписанную в этот же угол. Пусть луч QM
пересекает эту окружность в точках C
и D
. Поскольку эти окружности гомотетичны с центром гомотетии Q
, то один из радиусов (например, O_{1}C
) второй окружности параллелен радиусу OM
первой окружности.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Впишем в угол произвольную окружность с центром O_{1}
. Найдём точки пересечения C
и D
этой окружности с лучом QM
, и через точку M
проведём прямые, параллельные радиусам O_{1}C
и O_{1}D
. Точки пересечения этих прямых с биссектрисой данного угла есть центры искомых окружностей.
Если данная точка лежит внутри угла, то задача имеет два решения. Если точка лежит на стороне угла, то задача имеет единственное решение. В остальных случаях решений нет.