2505. С помощью циркуля и линейки на стороне треугольника постройте точку, сумма расстояний от которой до двух других сторон равна данному отрезку.
Указание. «Распрямите» ломаную и примените метод геометрических мест точек.
Решение. Предположим, что на стороне BC
треугольника ABC
построена точка M
, сумма расстояний от которой до прямых AB
и AC
равна данной величине, т. е. MP+MQ=a
, где P
и Q
— проекции точки M
на AB
и AC
.
На продолжении отрезка MQ
за точку M
отложим отрезок MP_{1}
, равный MP
. Тогда P_{1}Q=P_{1}M+MQ=a
. Поэтому точка P_{1}
расположена на прямой, параллельной AC
, и находящейся от неё на расстоянии, равном a
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Проводим прямую, параллельную прямой AC
, на расстоянии, равном a
(длина данного отрезка) от неё. Причём проведённая прямая и вершина B
должны находиться по одну сторону от прямой AC
. Биссектриса одного из углов, образованных проведённой прямой и прямой AB
, пересекает сторону BC
в искомой точке M
.
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 21, с. 206