2507. С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник прямоугольник, имеющий заданную диагональ.
Указание. Замените данный треугольник ABC
на прямоугольный треугольник AB_{1}C
(\angle C=90^{\circ})
.
Решение. Предположим, что в данный треугольник ABC
вписан прямоугольник KLMN
с диагональю LN
, равной заданному отрезку a
. Пусть вершины K
и N
находятся на стороне AC
, а вершины L
и M
— на сторонах AB
и BC
соответственно.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
, до пересечения в точке B_{1}
с перпендикуляром к основанию AC
, проходящим через вершину C
. Пусть прямая LM
пересекает гипотенузу AB_{1}
и катет B_{1}C
прямоугольного треугольника AB_{1}C
в точках P
и Q
соответственно. Если F
— проекция точки P
на AC
, то прямоугольник PQCF
равен прямоугольнику LMNK
, так как
\frac{LM}{AC}=\frac{BL}{AB}=\frac{B_{1}P}{AB_{1}}=\frac{PQ}{AC},~PF=LK.
Следовательно, диагонали этих прямоугольников соответственно равны.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим прямоугольный треугольник ACB_{1}
(\angle ACB_{1}=90^{\circ})
с катетом B_{1}C
, равным высоте BD
данного треугольника ABC
. С центром в точке C
и радиусом a
, равным данной диагонали, проводим окружность. Через точку пересечения этой окружности с гипотенузой AB_{1}
проводим прямую, параллельную AC
. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB
и BC
есть вершины искомого прямоугольника.
В зависимости от того, будет ли высота треугольника AB_{1}C
, опущенная из C
, меньше, равна или больше данного отрезка, задача будет иметь два решения, одно или ни одного.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1956, билет 8, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 56-8-3, с. 55