2509. С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, касающуюся данной окружности.
Указание. «Раздвиньте» стороны данного угла в направлениях перпендикуляров к его сторонам на расстояния, равные радиусу данной окружности (или примените гомотетию).
Решение. Первый способ. Предположим, что нужная окружность S_{1}
построена. Пусть O_{1}
— её центр, O
— центр данной окружности S
, M
— точка касания окружностей S_{1}
и S
, r
и R
— их радиусы.
Пусть при параллельном переносе на расстояние R
вдоль перпендикуляра к стороне AB
данного угла BAC
вне этого угла луч AB
переходит в луч A_{1}B_{1}
, а при соответствующем параллельном переносе вдоль перпендикуляра к стороне AC
луч AC
переходит в луч A_{1}C_{1}
. Тогда окружность S_{2}
с центром в точке O_{1}
и радиусом R+r
вписана в угол B_{1}A_{1}C_{1}
и проходит через точку O
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим угол B_{1}A_{1}C_{1}
с помощью указанных параллельных переносов сторон AB
и AC
данного угла BAC
. Если центр O
данной окружности окажется при этом внутри угла B_{1}A_{1}C_{1}
, то с помощью гомотетии впишем в угол B_{1}A_{1}C_{1}
окружность, проходящую через точку O
.
Пусть O_{1}
— центр этой окружности. Тогда окружность с центром O
и радиусом, равным разности радиусов построенной и данной окружностей (т. е. R+r-R=r
), вписана в угол BAC
и касается данной окружности.
Второй способ. Предположим, что нужная окружность S_{1}
построена. Поскольку окружности S
и S_{1}
касаются, то точка M
их касания есть один из центров гомотетии этих окружностей. При гомотетии с этим центром данный угол BAC
перейдёт в угол B_{2}A_{2}C_{2}
, в который вписана окружность S
. Поскольку при этой гомотетии точка A
переходит в A_{2}
, то прямая AA_{2}
проходит через центр гомотетии, т. е. через точку M
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим угол B_{2}A_{2}C_{2}
, стороны которого противоположно направлены соответствующим сторонам данного угла BAC
и являются касательными к данной окружности S
. Пересечение прямой AA_{2}
с данной окружностью есть искомая точка касания окружностей. Остаётся вписать в угол ABC
окружность, проходящую через эту точку.