2512. Дан угол и точка внутри него. С помощью циркуля и линейки проведите через эту точку прямую, отрезок которой, заключённый внутри данного угла, делился бы данной точкой в заданном отношении.
Указание. Через данную точку проведите прямую, параллельную одной из сторон данного угла.
Решение. Предположим, что нужная прямая проведена. Пусть прямая, проходящая через точку M
, расположенную внутри данного угла AOB
, пересекает стороны OA
и OB
этого угла в точках P
и Q
таких, что \frac{MP}{MQ}=\frac{m}{n}
, где m
и n
— данные отрезки.
Через точку M
проведём прямую, параллельную OB
, до пересечения с лучом OA
в точке K
. Тогда
\frac{PK}{OK}=\frac{PM}{MQ}=\frac{m}{n}.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На произвольном луче OF
отложим последовательно отрезки OX
и XY
, равные соответственно n
и m
. Пусть K
— точка пересечения с лучом OA
прямой, проходящей через данную точку M
параллельно OB
. Проведём через точку Y
прямую, параллельную XK
до пересечения с лучом OA
в точке P
. Тогда PM
— искомая прямая.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 282, с. 99
Источник: Колмогоров А. Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 7 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1979. — № 10, с. 128
Источник: Болтянский В. Г., Яглом И. М. Преобразования. Векторы. — М.: Просвещение, 1964. — с. 141