2520. С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по отношению её оснований, двум углам при одном из этих оснований и высоте.
Указание. Примените гомотетию.
Решение. Пусть
\frac{m}{n}
— данное отношение оснований. Для определённости будем считать, что
m\lt n
, а данные углы прилегают к большему основанию трапеции.
Строим треугольник с основанием
BC
, равным
n
и данными углами при этом основании. На основании
BC
откладываем отрезок
BK
, равный
m
, и через точку
K
проводим прямую, параллельную стороне
AB
, до пересечения со стороной
AC
в точке
M
. Через точку
M
проводим прямую, параллельную основанию
BC
, до пересечения со стороной
AB
в точке
N
. Тогда
BCMN
— трапеция с основаниями
BC=n
и
MN=m
и данными углами при основании.
Пусть
MP
— её высота. На луче
PM
откладываем отрезок
PQ
, равный данной высоте, и проводим через точку
Q
прямую, параллельную
BC
. Пусть эта прямая пересекает луч
BM
в точке
M_{1}
. Тогда
M_{1}
— вершина искомой трапеции. Остальные вершины — это точка
B
, точка
N_{1}
пересечения
M_{1}Q
с лучом
BN
и точка
C_{1}
пересечения прямой, проходящей через точку
M_{1}
параллельно
MC
, с лучом
BC
. Трапеция
BC_{1}M_{1}N_{1}
искомая, поскольку она гомотетична трапеции
BCMN
.
Источник: Колмогоров А. Н. и др. Геометрия: Учебное пособие для 7 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1979. — № 16, с. 140