2523. С помощью циркуля и линейки постройте на сторонах
AB
и
AC
треугольника
ABC
такие точки
X
и
Y
соответственно, что
XY\parallel BC
и
XY=XB+YC
.
Указание. Искомая прямая
XY
проходит через точку пересечения биссектрис треугольника
ABC
.
Решение. Пусть
O
— точка пересечения биссектрис треугольника
ABC
. Проведём через точку
O
прямую, параллельную
BC
. Обозначим через
X
и
Y
её точки пересечения со сторонами
AB
и
BC
соответственно. Тогда
\angle XOB=\angle CBO=\angle XBO.

Поэтому треугольник
BOX
— равнобедренный и
OX=XB
. Аналогично
OY=YC
. Следовательно,
XY=OX+OY=XB+YC.

Источник: Петерсен Ю. Методы и теории для решения геометрических задач на построение, приложенные более чем к 400 задачам. — М.: Типография Э. Лисснера и Ю. Романа, 1892. — № 97, с. 19