2526. С помощью циркуля и линейки через данную точку проведите прямую, на которой данная окружность высекала бы хорду, равную данному отрезку.
Указание. Геометрическое место середин всех хорд данной окружности, равных данному отрезку, меньшему диаметра данной окружности, есть окружность, концентрическая данной.
Решение. Воспользуемся следующим известным фактом. Геометрическое место середин всех хорд данной окружности, равных данному отрезку, меньшему диаметра данной окружности, есть окружность, концентрическая данной.
Пусть данный отрезок равен a
, AB=a
— некоторая хорда данной окружности с центром O
и радиусом R
. Если P
— проекция точки O
на AB
, то P
— середина AB
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим прямоугольный треугольник по гипотенузе, равной радиусу R
, и катету, равному \frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}
. Затем строим окружность с центром O
и радиусом, равным второму катету построенного треугольника. Через данную точку M
проводим касательную к этой окружности.
Пусть эта касательная пересекает данную окружность в точках X
и Y
. Тогда XY=AB=a
.
Если a\lt2R
, задача имеет два решения, если a=2R
— одно (прямая MO
). В остальных случаях решений нет.
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 1.109, с. 181