2529. Постройте треугольник ABC
, зная три точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
, симметричные центру O
описанной окружности этого треугольника относительно прямых BC
, CA
и AB
.
Указание. Докажите, что O
— точка пересечения высот треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть M
, N
и K
— середины его сторон BC
, CA
и AB
соответственно. Тогда MK
— средняя линия треугольников ABC
и A_{1}OC_{1}
. Поэтому MK\parallel AC
и MK\parallel A_{1}C_{1}
, а так как B_{1}O
— серединный перпендикуляр к отрезку AC
, то B_{1}O\perp A_{1}C_{1}
, т. е. высота B_{1}F
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
проходит через точку O
. Аналогично для остальных высот треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Следовательно, O
— точка пересечения высот треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим точку O
пересечения высот треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
. Серединные перпендикуляры к отрезкам OA_{1}
, OB_{1}
и OC_{1}
есть стороны искомого треугольника ABC
.
